Типы поверхностей второго порядка

Цилиндрические поверхности

Поверхность S называется цилиндрической поверхностью с образующей , если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей , целиком принадлежит поверхности S.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S имеет уравнение f(x,y) = 0, то S — цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси OZ.

Кривая, задаваемая уравнением f(x,y) = 0 в плоскости z = 0, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:

Конические поверхности

Коническая поверхность.

Поверхность S называется конической поверхностью с вершиной в точке O, если для любой точки M₀ этой поверхности прямая, проходящая через M₀ и O, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция F(x,y,z) называется однородной порядка m, если выполняется следующее:

Теорема (об уравнении конической поверхности).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) — однородная функция, то S — коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность S задана функцией F(x,y,z), являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, то S называется конической поверхностью второго порядка.

• Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

Поверхности вращения

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M₀(x₀,y₀,z₀) этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z = z₀ с центром в (0,0,z₀) и радиусом , целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).
Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением F(x² + y²,z) = 0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид:	Эллиптический параболоид:

В случае, если , перечисленные выше поверхности являются поверхностями вращения.

Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид.

Ввиду геометрической схожести гиперболический параболоид часто называют «седлом».

Уравнение гиперболического параболоида:

При сечении гиперболического параболоида плоскостью z = z₀ поверхность порождает гиперболу.

При сечении гиперболического параболоида плоскостью x = x₀ или y = y₀ поверхность порождает параболу.

Центральные поверхности

Если центр поверхности второго порядка существует и единственен, то его координаты можно найти решив систему уравнений: